Media
aritmética:
También se
le conoce como promedio; es la suma de todos los elementos dividida entre el
número total de ellos. Matemáticamente se representa de la siguiente manera:
Sea X una
variable; X1, X2, . . . , Xn , la población generada por X, el promedio de la
población será :
Una
característica de la Media Aritmética que debe tenerse en cuenta cuando se
describe una población es que esta medida es afectada por los valores extremos
de la muestra o población.
La
mediana:
Es otra
medida que se utiliza para describir el valor central de una población. Para
calcular la Mediana se ordenan los datos en forma ascendente o descendente, si
el tamaño de la población es impar, la Mediana es el dato que queda al centro
del los datos ordenados; si es par, la Mediana es el promedio de los dos datos
que ocupan el centro de la ordenación. Se observa que la Mediana divide en dos
partes iguales a los datos de una muestra o población. La Mediana es una medida
que no es afectada por los valores extremos de la muestra o población.
Cálculo de la mediana para datos no
agrupados:
Para
encontrar la mediana en una serie de datos no agrupados, lo primero que se hace
es ordenar los datos en una forma creciente o decreciente y luego se ubica la
posición que esta ocupa en esa serie de datos; para ello hay que determinar si
la serie de datos es par o impar.
Si el número n es impar, entonces la posición de la mediana se determina por la formula:
|
Me = Xn+1
2
|
luego el
número que se obtiene indica el lugar o posición que ocupa la mediana en la
serie de valores, luego la mediana será el número que ocupe el lugar de lo
posición encontrada.
Si n es
par, se aplica la formula:
|
El
resultado obtenido, es la posición que ocupara la mediana, pero en este caso se
ubica la posición de la mediana por ambos extremos de la serie de valores y los
dos valores que se obtengan se le saca la media y esta será la mediana buscada,
por lo tanto la mediana, en este caso, es un número que no se encuentra dentro
de la serie de datos dados.
Pasos para determinar
la mediana en datos agrupados:
1. Se
elabora la tabla de frecuencia de datos con sus diferentes intervalos de
clases, se ubican las frecuencias fi y se calculan las frecuencias
acumuladas Fi de esa distribución.
2. Se
determina la ubicación o posición de la mediana en el intervalo de la
distribución de frecuencia, mediante la fórmula n/2. El resultado
obtenido determinará la clase donde se encuentra ubicada la mediana, lo cual se
conseguirá en la clase donde la frecuencia acumulada Fi sea igual o
superior a este resultado. Luego se aplica la formula:
|
Me = Li + { n/2 – F(i-1) } Ic
2
|
n/2 = posición
de la mediana
Li = es el
límite inferior de la clase donde se encuentra ubicada la mediana.
F(i-1) = es el
valor de la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
fi = es el
valor de la frecuencia de clase donde se encuentra la mediana.
Ic = es el
tamaño del intervalo de clase.
n = es el
número total de datos de la distribución en estudio.
La
moda:
La moda es
la medida de posición que indica la magnitud del valor que se presenta con más
frecuencia en una serie de datos; es pues, el valor de la variable que más se
repite en un conjunto de datos. De las medidas de posición la moda es la que se
determina con mayor facilidad, ya que se puede obtener por una simple
observación de los datos en estudio, puesto que es el dato que se observa con
mayor frecuencia. Se designa con las letras Mo.
Cuando una
serie de valores es simétrica, la media, la mediana y el modo coinciden, y si
el grado de asimetría de la serie es moderada, la mediana estará situada entre
la media y el modo con una separación de un tercio entre ambas. Tomando en
cuenta esta relación, cuando se tengan dos de esta medidas se puede determinar
la tercera; sin embargo es conveniente utilizar esta relación para calcular
solamente la moda ya que para calcular la media y la mediana existen formulas
matemáticas que dan resultados más exactos; la fórmula matemática para calcular
la moda por medio de la relación antes mencionada es: Mo = X – 3(X – Me). |
Me = Li + { Δ1 } Ic
Δ1
+ Δ2
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Los cuartiles,
deciles y percentiles se parecen mucho a la media porque también subdividen una
distribución de mediciones de acuerdo con la proporción de frecuencias
observadas. Mientras que la mediana divide a la distribución en dos mitades,
los cuarteles la dividen en cuatro cuartos, los deciles en diez decimos y los
puntos percentiles la dividen en cien partes. Matemáticamente, a manera de ejemplo,
se pueden expresar:
P70 (Percentil 70): X[(70n/100+1/2)]
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